1
对于方程 $$ x^2 - 5x + k = 0 $$，求 $$ k $$ 的取值范围，使得方程有两个不同的实数根。
答案：
判别式 $$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 25 - 4k $$。
为有两个不同的实数根，需 $$ \Delta > 0 $$，即 $$ 25 - 4k > 0 $$，$$ 4k < 25 $$，$$ k < \frac{25}{4} $$。
2
已知二次函数 $$ f(x) = 3x^2 + mx + 2 $$ 的图像与 $$ x $$ 轴只有一个交点，求 $$ m $$ 的值。
答案：
判别式 $$ \Delta = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = m^2 - 24 $$。
为只有一个交点，需 $$ \Delta = 0 $$，即 $$ m^2 - 24 = 0 $$，$$ m^2 = 24 $$，$$ m = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} $$。
3
判断方程 $$ 2x^2 + 4x + 3 = 0 $$ 是否有实数根，并说明理由。
答案：
判别式 $$ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0 $$。
由于判别式小于0，方程没有实数根。
4
若函数 $$ g(x) = kx^2 + 6x + k $$ 有两个相等的实数根，求正实数 $$ k $$ 的值。
答案：
判别式 $$ \Delta = 6^2 - 4 \cdot k \cdot k = 36 - 4k^2 $$。
为有两个相等的实数根，需 $$ \Delta = 0 $$，即 $$ 36 - 4k^2 = 0 $$，$$ 4k^2 = 36 $$，$$ k^2 = 9 $$，$$ k = 3 $$ 或 $$ k = -3 $$。
正实数 $$ k $$ 的值为 $$ 3 $$。